Definição e significado de previsione

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Introduzione

La nostra conoscenza ex ante (cioè previsiva) del mondo è definita (in modo probabilistico) esattamente negli stessi termini, sia che ci occupiamo di particelle subatomiche, sia che ci occupiamo di imprese e consumatori. È possibile quindi definire che cosa si possa intendere con il termine previsione partendo dal proposito di mostrare l’isomorfismo tra l’economia matematica (di cui la teoria dei giochi è una delle principali aree di studio) e la meccanica quantitstica.

Previsione in Fisica e in Economia

In The Theory of Games and Economic Behavior di von Neumann e Morgenstern (1944) si introduce l’uso generalizzato del valore atteso come operatore fondamentale all’interno della teoria dell’utilità attesa.Tradizionalmente a tale operatore si attribuiscono radici statistiche (Fishburn e Wakker, 1995) ma esiste un dato in comune tra l’economia matematica e la fisica contemporanea, cioè quella quantistica.Quindi esiste un concetto più ampio, un solo modus conoscitivo che noi usiamo in campi diversi. Non a caso John von Neumann nell’arco di dodici anni (1932, 1944) ha fissato le idee di fondo in entrambe le discipline attribuendo loro la stessa struttura metodologica, rendendole cioè isomorfe.

Matrice Densità e Valore Atteso

La chiave di volta di questo isomorfismo è quello che gli economisti chiamano valore atteso e che invece i fisici quantistici dopo von Neumann chiamano matrice densità.In presenza di energie confrontabili con quelle dei quanta la meccanica quantistica non si può più considerare una generalizzazione della fisica (e della meccanica) newtoniana e i fenomeni considerati non avvengono secondo il modello newtoniano: quando sono coinvolte le componenti di base della materia i fenomeni quantistici diventano così rilevanti da non poter essere trascurati.

Paradosso del gatto di Schrödinger

Si può considerare il cosiddetto paradosso del gatto di Schrödinger.

« Si rinchiuda un gatto in una scatola d’acciaio insieme con la seguente macchina infernale (che occorre proteggere dalla possibilità d’essere afferrata direttamente dal gatto): in un contatore Geiger si trova una minuscola porzione di sostanza radioattiva, così poca che nel corso di un’ora forse uno dei suoi atomi si disintegra, ma anche in modo parimenti verosimile nessuno; se ciò succede, allora il contatore lo segnala e aziona un relais di un martelletto che rompe una fiala con del cianuro. Dopo avere lasciato indisturbato questo intero sistema per un’ora, si direbbe che il gatto è ancora vivo se nel frattempo nessun atomo si fosse disintegrato. La prima disintegrazione atomica lo avrebbe avvelenato. La funzione dell’intero sistema porta ad affermare che in essa il gatto vivo e il gatto morto non sono stati puri, ma miscelati con uguale peso [1] »

Lo sperimentatore sa che, ex post, il gatto sarà vivo o morto con certezza. Ma, ex ante, i due stati del sistema (cioè, “gatto vivo” e “gatto morto”) così come i due stati del mondo (che si possono scrivere come “la fiala di cianuro è stata rotta dal martelletto” e “la fila di cianuro non è stata rotta”) coesistono. Tale paradosso si può verificare anche ex post a condizione che lo sperimentatore non sia in grado di rilevare lo stato del gatto prima di avree aperto la scatola. Quindi ci troviamo di fronte a un cosiddetto “evento aleatorio” o “probabilistico” nella sua definizione più comune ovvero soggettiva.

In termini probabilistici in fisica la conoscenza ex ante che lo sperimentatore possiede nei confronti degli stati del sistema ex post è riassunta dalla cosiddetta matrice densità D, che è il risultato del prodotto scalare dei due vettori di stato totali. L’introduzione in fisica dell’operatore matrice densità è attribuibile a Paul Dirac (1930) e ricompare in von Neumann (1932 e 1955).

Non è quindi un caso che vi sia un isomorfismo tra la teoria dell’utilità attesa e i fondamenti matematici della meccanica quantistica. In Theory of Games and Economic Behavior, von Neumann usa uno strumentario mutuato dal modello matematico che Dirac aveva approntato per la meccanica quantistica, e che von Neumann, insoddisfatto della formalizzazione originale di Dirac, aveva perfezionato. Ma von Neumann non si curò di segnalare ciò ai propri colleghi nei due campi.

Isomorfismo tra fisica ed economia

Nel caso di un modello economico in cui si costruisca il valore atteso relativo, ad esempio, al payoff di un giocatore, si verifica esattamente lo stesso tipo di paradosso legato al processo di riduzione del vettore di stato nel caso del gatto di Schroedinger, e si verifica nella mente dell’osservatore. Quindi, anche nel caso di un problema di natura economica il problema è il processo di riduzione, cioè il passaggio dalla situazione quantistica (previsiva) ex ante a quella newtoniana (osservativa) ex post.In entrambe le situazioni, il paradosso avviene nella nostra mente perché il modello quantistico e quello newtoniano da un lato e gli equilibri in strategie miste ed in strategie pure dall’altro sono entrambi senza incertezze, perfettamente noti. Ciò che non controlliamo è il grado di indeterminazione implicito nel processo di misurazione nel caso della fisica e nel passaggio da una combinazione delle strategie pure in una strategia mista alla selezione (casuale) di una particolare strategia pura (il principio di indeterminazione di Werner Heisenberg si può raccontare in parole povere dicendo che non possiamo conoscere contemporaneamente la velocità e la posizione di un elettrone esattamente come non sapremmo lodare e biasimare al contempo un taccheggiatore pentito).L’analogia con situazioni ben note in teoria dei giochi è immediata se in generale il gioco ha almeno un equilibrio di Nash in strategie miste. Definiamo con α la probabilità che il giocatore A scelga la strategia a, e con β la probabilità che il giocatore B scelga s. Ovviamente le probabilità che -a e -s vengano scelte sono, rispettivamente, 1 − α e 1 − β. Il valore atteso del payoff spettante, ad esempio, al giocatore A dovrà essere massimizzato da A rispetto ad α. Analoghe considerazioni valgono per B. Nel linguaggio dei fisici quantistici l’espressione del valore atteso E si potrebbe definire con la matrice densità D del gioco per l’individuo A. Si ha così un isomorfismo tra economia matematica e fisica quantistica. Si potrebbe obiettare che in un gioco le probabilità vengono scelte dai giocatori per massimizzare il proprio payoff atteso, mentre in un esperimento quantistico tali probabilità sono dettate dalla Natura. Rimediare a questo è immediato, basta pensare al modello dei “bidoni” (lemons) di Akerlof (1970) o, più in generale, ai giochi ad informazione incompleta (Harsanyi, 1967), in cui gli stati del mondo si presentano secondo una certa distribuzione di probabilità dettata dalla Natura. A titolo di esempio, si consideri la ormai familiare parabola delle auto usate (Akerlof, 1970). Un individuo intenzionato ad acquistare un’auto di seconda mano fronteggia una popolazione di venditori, ciascuno dei quali offre un’auto, la quale può essere alternativamente di qualità q = H o q = L (H > L), con probabilità p(H) = p(L) = 1/2. La metafora solitamente usata per raccontare la vicenda è che la natura estrae a caso dalla popolazione di venditori un individuo qualsiasi. Quindi, a priori, l’acquirente potenziale è in grado di calcolare il valore atteso della qualità E(q) = (H +L)/2. Questo nel linguaggio di un economista, mentre in quello di un fisico tale espressione sarebbe definita come la matrice densità D, in base alla quale si avrà sempre che con probabilità 1/2 l’auto che acquisterà sarà di qualità alta e con la stessa probabilità sarà di qualità bassa. Il che nella valutazione attesa si traduce nella sovrapposizione dei due stati (o qualità) in senso quantistico. Il collasso di tale sovrapposizione avviene all’atto dell’acquisto, che è l’equivalente dell’apertura della scatola nell’esperimento del gatto di Schroedinger. Nel linguaggio dei fisici l’etichetta valore atteso viene usata esclusivamente nella sua accezione originale (cioè statistica), per indicare la media di una distribuzione, mentre un concetto più complesso come lo stato atteso di un sistema (il gatto) viene trattato coniando una seconda etichetta che è un derivato della prima, cioè la matrice densità. Tra gli economisti questa distinzione scompare e si ha un uso generalizzato di valore atteso sia nel primo che nel secondo caso.

Note

1. ^ E. Schrödinger: Die gegenwärtige Situation in der Quantenmechanik [La situazione attuale della meccanica quantistica], Die Naturwissenschaften 23 (1935) 807–812, 823–828, 844–849; citazione a pag. 812.

Bibliografia

• Akerlof, G. (1970), “The Market for Lemons: Quality Uncertainty and the Market Mechanism”, Quarterly Journal of Economics, 84, 488-500.

• Aumann, R.J. (1976), “Agreeing to Disagree”, Annals of Statistics, 4, 1236-1239.

• Dirac, P.A.M. (1930), The Principles of Quantum Mechanics, Oxford, Oxford University Press.

• Fishburn, P. e P. Wakker (1995), “The Invention of the Independence Condition for Preferences”, Management Science, 41, 1130-1144.

• Harsanyi, J. (1967), “Games with Incomplete Information Played by Bayesian Players, Part I, II and III”, Management Science, 14, 159-182, 324-334, 486-502.

• Hawking, S. e R. Penrose (1996), The Nature of Space and Time, Princeton, NJ, Princeton University Press; trad. it. La natura dello spazio e del tempo, Sansoni, Milano, 1996.

• McGaughey, William (2000) Five Epochs of Civilization, Thistlerose Publications See also Web site in Italian

• Penrose, R. (1997), The Large, the Small and the Human Mind, Cambridge, Cambridge University Press; trad. it. Il grande, il piccolo e la mente umana, Raffaello Cortina Editore, Milano, 1997.

• Sakurai, J.J. (1985), Modern Quantum Mechanics. Revised Edition,New York, Addison-Wesley.

• Schwabl, F. (1992), Quantum Mechanics, Berlin, Heidelberg, Springer- Verlag; trad. it.: Meccanica quantistica, Zanichelli, Bologna, 1995.

• von Neumann, J. (1932), Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg; trad. inglese: Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1955; trad. it.: I fondamenti matematici della meccanica quantistica, Il Poligrafo, Padova, 1998.

• von Neumann, J. e O. Morgenstern (1944), The Theory of Games and Economic Behavior, Princeton, NJ, Princeton University Press.